Paradojas Pitagóricas

Para los Pitagóricos el universo se componía de números, siendo el número 1 considerado como el creador de todo lo demás. Para ellos, los números podían ser naturales (1,2,3,...), enteros (...-3,-2,-1.0,1,2,3,...) y racionales (fracciones de números enteros) y tenían la creencia de que eran suficientes para mostrar cualquier relación numérica existente en el universo.
¿De dónde procedía esa convicción en la fuerza de las cifras?
En los estudios de las escalas musicales se descubrió que los tonos poseen una relación estrictamente numérica entre sí. Así, cuando se recortaba la cuerda de un instrumento musical en la proporción 2:1, resultaba la octava. De este importante descubrimiento musical se dedujo que toda armonía de la naturaleza se basaba en una relación numérica, resultado que también debía ser válido para la geometría.
Ironías del destino, pues sería precisamente el teorema de Pitágoras el responsable de que se cuestionaran toda la teoría pitagórica.

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Teorema de Fermat

Demostraciones del Teorema de Pitágoras

Espiral Pitagórica

¡IMPOSIBLE! ¿Dónde está el cuadrado que falta?

Actividades como esta se pueden sacar de este cuadernillo de ejercicios y ploblemas (Teorema de Pitágoras páginas 28 a 40)

Aplicaciones del Teorema de Pitágoras

Todo sobre árboles Pitagóricos (IV)

Y por último, el que más me gusta

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En las siguientes entradas colgaré las demostraciones del teorema de Pitágoras utilizando Geogebra y ya dejo este tema.

Todo sobre árboles Pitagóricos (III)

Ahora unas cuantas ideas bastante "friquis" sobre la generalización del teorema de Pitágoras (todas las tengo en Geogebra):

Todo sobre árboles Pitagóricos (II)

Una variante original de estos árboles pitagóricos la he realizado utilizando hexágonos; deben ser los tambores que ya me suenan en la cabeza pero a mi me recuerda a las "chumberas", ¡creo que debo irme ya a tocar el tambor!)













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Todo sobre árboles Pitagóricos (I)

Otro posible logotipo para nuestra Semana Matemática que he realizado con Geogebra

La verdad es que este lo he pensado para pegarlo en el salón de Actos (pared donde proyectamos) utilizando vinilo y ocupará aproximadamente 7 m2.
Ya he dedicido los materiales que vamos a necesitar para hacerlos. Todo está en esta hoja de cálculo (que puede servir para plantear cuestiones a nuestros alumnos).
Para construirlo sobre la pared podremos proyectar la imagen (asegurandonos que sobre la pared tiene las medidas que nos interesan según hoja de cálculo) e ir pegando figuras (triángulos y cuadrados) en sus correspondientes lugares.
Una opción que abarataría un poco la actividad sería no utilizar como fondo los azulejos existentes, más bien un pliego de papel suficientemente grande de color. De esta forma podríamos ahorrarnos tener que colocar los triángulos, y solamente colocaríamos los cuadrados en los lugares que nos indique la proyección. No tengo muy claro si merece la pena.
En este árbol pitagórico he elegido el tipo de triángulos rectángulos que facilitan al máximo su construcción (son triángulos rectángulos isósceles).
A la hora de recortar las piezas habrá que estudiar un poco como se hace con el fin de reducir al máximo el material desperdiciado (las láminas de vinilo que compraremos serán de 60x60 y los trozos pequeños me dijo el de APP que nos los regalaría???)
Para construir este árbol he utilizado GEOGEBRA creando una plantilla que permite dibujar infinidad de árboles Pitagóricos de hasta seis iteraciones (todo esto es original, ideado por mi, aunque por Internet había alguna actividad parecida pero en Java).













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Logotipo para la Semana Matemática

Como siempre, por casualidad, encontré por ahí esta imagen ...

Era un artículo sobre una nueva creación de un maestro chocolatero importante que tuvo que pedir ayuda a un matemático vasco para poder realizar el diseño que había dibujado de forma aproximada en papel.

A partir de esta imagen y teniendo en cuenta que dos de los temas de esta Semana Matemática son el Teorema de Pitágoras y los logos me pareció buena idea adaptarlo un poco y utilizarlo como logo de nuestra semana (no se si tendremos que pedir permiso). De paso el logo da mucho juego, tanto a la hora de describir los elementos geométricos que lo componen como a la hora de resolver cuestiones numéricas sobre él.

El logo queda de esta forma (no es lo mio, se que queda algo soso artísticamente pero es lo que andaba buscando):

En cuanto a las cuestiones que se podrían plantear sobre el logo....

• ¿Qué elementos geométricos contiene? 36 Triángulos rectángulos e isósceles, 9 cuadrados con giros entre ellos, espirales, ...
• Cálculo de áreas (de cuadrados y triángulos9
• Utilización del teorema de Pitágoras para calcular catetos e hipotenusas
• También podríamos hablar de Semejanzas (de cuadrados evidente y de triángulos salvo los idémnticos no hay)
• Tenía la intuición de que "por ahí" podríamos tener el número de oro ¡pero yo no lo he encontrado!

He pensado que lo mejor sería acompañar todas estas cuestiones de un enunciado que además podría ser propuesto a los alumnos como el "PROBLEMA DE LA SEMANA MATEMÁTICA" con dos niveles diferentes de dificultad: de 1º a 3º de la ESO (requiere rudimentos básicos de geometría, el teorema de Pitágoras y buen hacer a la hora de resolver problemas) y de 4º a 2º de bachillerato (requiere, además, la resolución de sistemas no lineales, ecuaciones bicuadradas y trigonometría)

Enlaces a los enunciados:

1ºESO-3ºESO

4º ESO-BACHILLER

Alguna cosa parece complicada pero realmente son del nivel al que se proponen.

La idea está sacada de este video:

El logo lo he realizado con GEOGEBRA (la verdad es que hacerlo bien, sin aproximaciones, cuesta bastante) y el resultado es el siguiente:

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Teorema de Pitágoras

Un poco de todo sobre el teorema de Pitágoras

Papirodemostración del teorema de Pitágoras

Para realizar la papirodemostración del teorema de Pitágoras de un triángulo rectángulo cualquiera vamos a construir un puzzle de cinco piezas: una pieza cuadrada y cuatro trapezoidales iguales.

Sea un triángulo rectángulo cualquiera:

Para construir la pieza cuadrada:

Construimos cuatro piezas trapezoidales de la siguiente manera:

Y ya sólo queda colocar las piezas para demostrar el teorema de Pitágoras:

Fuente: http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Cultura/papiroflexia/Pitagoras.asp

Pitágoras: más que un teorema (Serie + por -)

Ilusión Óptica Pitagórica

¿Y si Jesús Tébar nos hiciera algo parecido a esto con una de sus figuras?

Una tontería más, pero muy grande

¿A quién te recuerda?

Solamente hace falta un poco de imaginación ....

Pitágoras - Humor

Enseñando el Teorema de Pitágoras con música

¿Se atreverá Antonio (¡Diaz!) y Juan Valenciano a hacer una adaptación y cantarlo en el Salón de actos? En el fondo les gusta.

Si no quieren, quizás podrían ser los alumnos los que lo cantaran (proponerselo a Pepe Ródenas)

Desde los Griegos al Renacimiento

En la época de los griegos, las matemáticas habían llegado a constituir un cuerpo de conocimientos tan vasto que ya no podía transmitirse verbalmente. Los griegos escribieron cientos de libros, tratándolas por primera vez como cuestión que por sí misma valía la pena estudiar, no simplemente como un instrumento de aplicación. En los siglos de ignorancia que siguieron, gran parte de este tesoro matemático se perdió. Pero se conservó lo suficiente para que los intelectuales de la última parte de la Edad Media, de nuevo lanzados a la investigación científica, desenterrasen a los clásicos antiguos y los tradujeran a muchas lenguas.

UN TEOREMA EXTENDIDO POR EL GLOBO El teorema de Pitágoras, expuesto por primera vez hace más de 2.000 años, era conocido en todo el mundo civilizado en el siglo XVII. En la parte superior izquierda hay un texto griego de la demostración de Euclides, y cinco traducciones. Los chinos estaban familiarizados con el teorema en tiempos de Pitágoras.

Teorema de Pitágoras para golosos

¿Podríamos hacer la demostración del teorema de Pitágoras utilizando tabletas de chocolate? La base sería la siguiente fotografía y con tres trozos de chocolate adecuados ya lo tenemos (cada trozo debe estar dividivo en onzas, por ejemplo 9, 16 y 25 respectivamente)